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当谈到距离时，我们通常指的是最短的距离：例如，如果说一个点 X X X距离多边形 P P P的距离为 D D D，我们通常假设 D D D是 X X X到 P P P的最近点的距离。
同样的逻辑也适用于两个多边形：对于两个多边形 A A A和 B B B，我们通常将它们的距离理解为 A A A的任意点和 B B B的任意点之间的最短距离。形式上，这称为minimin 函数，因为 A A A和 B B B之间的距离 D D D由下式给出：
这个等式用计算机程序表达：对于 A A A的每个点 a a a，找出它到 B B B的任何点 b b b的最小距离；最后，取其中的最小者。
这样的距离定义是有不足的：
（1）最短距离没有考虑到多边形的整个形状
考虑图1中两个三角形的最短距离，由等式1可知这两个三角形非常接近。它们的距离由它们的红色顶点决定。
但是，从图中我们可以观察到两个多边形并不相近，因为它们的最远点（以蓝色显示）实际上离另一个多边形很远。
两个多边形之间的距离很小，应该意味着一个多边形的任何一点都离另一个多边形不远。
（2）最短距离没考虑对象的位置
在图2中，有两个与图1相同的三角形，只是位置不同。根据等式1，却可以得到它们的最短距离与图1的相同。
下面，我们将介绍Hausdorff距离，它能够考虑到这些问题。
Hausdorff距离以Felix Hausdorff（1868-1942）命名的，是一个集合到另一个集合中最近点的最大距离。更正式地说，从集合
A
A
A到集合
B
B
B的Hausdorff距离是一个maximin函数，定义为
其中 a a a和 b b b分别是集合 A A A和 B B B的点， d ( a , b ) d(a,b) d(a,b)是这些点之间的任何度量；例如欧几里得距离。
例： 给定两个点集 A A A和 B B B，求它们的Hausdorff距离 h ( A , B ) h(A,B) h(A,B)
1 计算 a 1 a_1 a1和 b 1 , b 2 , b 3 b_1,b_2,b_3 b1,b2,b3的距离 d 11 , d 12 , d 13 d_{11},d_{12},d_{13} d11,d12,d13
2 保留最短的一个 d 11 d_{11} d11
3 计算 a 2 a_2 a2和 b 1 , b 2 , b 3 b_1,b_2,b_3 b1,b2,b3的距离 d 21 , d 22 , d 23 d_{21},d_{22},d_{23} d21,d22,d23
4 保留最短的一个 d 23 d_{23} d23
5 d 11 d_{11} d11和 d 23 d_{23} d23中最大者即为Hausdorff距离 h ( A , B ) = d ( a 1 , b 1 ) h(A,B)=d(a_1,b_1) h(A,B)=d(a1,b1)：
6 我们可以得到 A A A中的任意点到 B B B部分点的距离，至多为 h ( A , B ) h(A,B) h(A,B)
暴力求解法：
1. h = 0
2. for every point ai of A,
2.1 shortest = Inf ;
2.2 for every point bj of B
dij = d (ai , bj )
if dij < shortest then
shortest = dij
2.3 if shortest > h then
h = shortest
应该注意的是，Hausdorff距离是定向的（或者说不对称的），这意味着大多数情况 h ( A , B ) h(A,B) h(A,B)不等于 h ( B , A ) h(B,A) h(B,A)。
例如，在上述例子中， h ( A , B ) = d ( a 1 , b 1 ) h(A,B)=d(a_1,b_1) h(A,B)=d(a1,b1)，而 h ( A , B ) = d ( b 2 , a 1 ) h(A,B)=d(b_2,a_1) h(A,B)=d(b2,a1)。
这种不对称性是maximin函数的一个性质，而引言中minimin函数则是对称的。
Hausdorff距离的更一般定义是：
它定义了 A A A和 B B B之间的Hausdorff距离，而等式2只是从 A A A到 B B B的Hausdorff距离（也称为有向Hausdorff距离）。 h ( A , B ) h(A,B) h(A,B)和 h ( B , A ) h(B,A) h(B,A)有时被称为 A A A到 B B B的前向和反向Hausdorff距离。术语很多，但除非另有说明，否则在谈论Hausdorff距离时，都是指等式3。
如果集合 A A A和集合 B B B是直线或多边形，则 H ( A , B ) H(A,B) H(A,B)将应用于这些直线或多边形的所有定义点，而不仅仅应用于其顶点。
回到引言中提到的最短距离的两个缺点。
（1）最短距离没有考虑到多边形整个形状
图四为以每个三角形的最远顶点为圆心，画出半径为 H ( P 1 , P 2 ) H(P1,P2) H(P1,P2)的圆。可以看到Hausdorff距离能考虑到多边形的所有其他点。
（2）最短距离没考虑对象的位置
从图5我们看到，Hausdorff距离对位置是敏感的。位置不同，得到的距离值也不同。
参考：
http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/cg-projects/98/normand/main.html
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