背景:我正在用 Java 编写一些几何软件。我需要 Java 的 BigDecimal 类提供的精度。由于 BigDecimal 不支持三角函数，我想我应该看看 Java 如何实现标准数学库方法并编写我自己的支持 BigDecimal 的版本。

阅读 this JavaDoc , 我了解到 Java 使用的算法“来自著名的网络库 netlib 作为包”自由分发数学库”fdlibm。这些算法是用 C 编程语言编写的，然后可以理解为以所有 float 执行- 遵循 Java 浮点运算规则的点运算。”

我的问题:我查找了 fblibm 的 sin 函数，k_sin.c ，看起来他们使用 13 阶泰勒级数来近似正弦(编辑 - njuffa 评论说 fdlibm 使用极小极大多项式近似)。该代码将多项式的系数定义为 S1 到 S6。我决定检查一下这些系数的值，发现S6只对了一位有效数字!我希望它是 1/(13!)，Windows 计算器和 Google Calc告诉我是 1.6059044...e-10，而不是 1.58969099521155010221e-10(这是代码中 S6 的值)。甚至 S5 的第五位数字也不同于 1/(11!)。有人可以解释这种差异吗？ 具体来说，这些系数(S1 到 S6)是如何确定的？

/* @(#)k_sin.c 1.3 95/01/18 */
/*
 * ====================================================
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 *
 * Developed at SunSoft, a Sun Microsystems, Inc. business.
 * Permission to use, copy, modify, and distribute this
 * software is freely granted, provided that this notice 
 * is preserved.
 * ====================================================
 */

/* __kernel_sin( x, y, iy)
 * kernel sin function on [-pi/4, pi/4], pi/4 ~ 0.7854
 * Input x is assumed to be bounded by ~pi/4 in magnitude.
 * Input y is the tail of x.
 * Input iy indicates whether y is 0. (if iy=0, y assume to be 0). 
 *
 * Algorithm
 *  1. Since sin(-x) = -sin(x), we need only to consider positive x. 
 *  2. if x < 2^-27 (hx<0x3e400000 0), return x with inexact if x!=0.
 *  3. sin(x) is approximated by a polynomial of degree 13 on
 *     [0,pi/4]
 *                   3            13
 *      sin(x) ~ x + S1*x + ... + S6*x
 *     where
 *  
 *  |sin(x)         2     4     6     8     10     12  |     -58
 *  |----- - (1+S1*x +S2*x +S3*x +S4*x +S5*x  +S6*x   )| <= 2
 *  |  x                               | 
 * 
 *  4. sin(x+y) = sin(x) + sin'(x')*y
 *          ~ sin(x) + (1-x*x/2)*y
 *     For better accuracy, let 
 *           3      2      2      2      2
 *      r = x *(S2+x *(S3+x *(S4+x *(S5+x *S6))))
 *     then                   3    2
 *      sin(x) = x + (S1*x + (x *(r-y/2)+y))
 */

#include "fdlibm.h"

#ifdef __STDC__
static const double 
#else
static double 
#endif
half =  5.00000000000000000000e-01, /* 0x3FE00000, 0x00000000 */
S1  = -1.66666666666666324348e-01, /* 0xBFC55555, 0x55555549 */
S2  =  8.33333333332248946124e-03, /* 0x3F811111, 0x1110F8A6 */
S3  = -1.98412698298579493134e-04, /* 0xBF2A01A0, 0x19C161D5 */
S4  =  2.75573137070700676789e-06, /* 0x3EC71DE3, 0x57B1FE7D */
S5  = -2.50507602534068634195e-08, /* 0xBE5AE5E6, 0x8A2B9CEB */
S6  =  1.58969099521155010221e-10; /* 0x3DE5D93A, 0x5ACFD57C */

#ifdef __STDC__
    double __kernel_sin(double x, double y, int iy)
#else
    double __kernel_sin(x, y, iy)
    double x,y; int iy;     /* iy=0 if y is zero */
#endif
{
    double z,r,v;
    int ix;
    ix = __HI(x)&0x7fffffff;    /* high word of x */
    if(ix<0x3e400000)           /* |x| < 2**-27 */
       {if((int)x==0) return x;}        /* generate inexact */
    z   =  x*x;
    v   =  z*x;
    r   =  S2+z*(S3+z*(S4+z*(S5+z*S6)));
    if(iy==0) return x+v*(S1+z*r);
    else      return x-((z*(half*y-v*r)-y)-v*S1);
}

最佳答案

我们可以使用三角恒等式将所有内容降低到 0≤x≤π/4，然后需要一种方法在该区间上近似 sin x。在 0≤x≤2^-27 上，我们可以坚持使用 sin x≈x(泰勒多项式也会给出，在 double 的容差范围内)。

不使用泰勒多项式的原因在算法注释的第 3 步中。泰勒多项式给出的(可证明的)精度接近于零，但当您远离零时，精度会降低。当您达到 π/4 时，13 阶泰勒多项式(除以 x)与 (sin x)/x 相差 3e-14。这比 fblibm 的 2^{-58 错误要严重得多。为了使用泰勒多项式获得准确的结果，您需要一直到 (π/4)n-1/n! <>-58，这需要另外 2 或 3 个术语。}

那么为什么 fblibm 满足于 2^{-58 的精度？因为这超出了 double 的容差(它的尾数中只有 52 位)。}

但在您的情况下，您需要任意多位 sin x。要使用 fblibm 的方法，您需要在所需精度发生变化时重新计算系数。最好的方法似乎是坚持使用 0 处的泰勒多项式，因为它很容易计算，并且取项直到 (π/4)^n-1/n!满足您期望的准确度。

njuffa 有一个有用的想法，即使用身份进一步限制您的域。例如，sin(x) = 3*sin(x/3) - 4*sin^3(x/3) .使用它可以让您将域限制为 0≤x≤π/12。你可以使用它两次来将你的域限制为 0≤x≤π/36。这将使您的泰勒展开更快地达到您想要的精度。而不是试图为 (π/4)^n-1/n! 获得任意准确的 π 值，我建议将 π 向上舍入到 4，直到 1/n!达到您想要的精度(或 3^-n/n! 或 9^-n/n! 如果您使用过一次或两次三角恒等式)。

关于java - 正弦的多项式逼近中的这些系数是如何确定的？，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/36117266/