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问 ：以三维情况为例，已知三个线性无关的向量
a
\mathbf{a}
a、
b
\mathbf{b}
b、
c
\mathbf{c}
c，如何能找到三个正交向量
α
1
\bm{\alpha_1}
α1、
α
2
\bm{\alpha_2}
α2、
α
3
\bm{\alpha_3}
α3，在归一化后能形成标准正交基：
e
1
\mathbf{e_1}
e1、
e
2
\mathbf{e_2}
e2、
e
3
\mathbf{e_3}
e3 ?
公式:
- 对三个线性无关的向量 a \mathbf{a} a、 b \mathbf{b} b、 c \mathbf{c} c进行Gram-Schmidt正交化，所得的正交向量 α 1 \bm{\alpha_1} α1、 α 2 \bm{\alpha_2} α2、 α 3 \bm{\alpha_3} α3分别为:
α 1 = a α 2 = b − b α 1 ∣ α 1 ∣ 2 α 1 α 3 = c − c α 1 ∣ α 1 ∣ 2 α 1 − c α 2 ∣ α 2 ∣ 2 α 2 \begin{aligned} \bm{\alpha_1} &= \mathbf{a} \\ \bm{\alpha_2} &= \mathbf{b}-\frac{\mathbf{b} \ \bm{\alpha_1}}{|\bm{\alpha_1}|^2} \ \bm{\alpha_1} \\ \bm{\alpha_3} &= \mathbf{c}-\frac{\mathbf{c} \ \bm{\alpha_1}}{|\bm{\alpha_1}|^2} \ \bm{\alpha_1}-\frac{\mathbf{c} \ \bm{\alpha_2}}{|\bm{\alpha_2}|^2} \ \bm{\alpha_2} \end{aligned} α1α2α3=a=b−∣α1∣2b α1 α1=c−∣α1∣2c α1 α1−∣α2∣2c α2 α2- 对 n n n个线性无关的向量 a \mathbf{a} a、 b \mathbf{b} b、 ⋯ \cdots ⋯、 x \mathbf{x} x进行Gram-Schmidt正交化，所得的正交向量 α 1 \bm{\alpha_1} α1、 α 2 \bm{\alpha_2} α2、 ⋯ \cdots ⋯、 α n \bm{\alpha_n} αn分别为:
α 1 = a α 2 = b − b α 1 ∣ α 1 ∣ 2 α 1 α 3 = c − c α 1 ∣ α 1 ∣ 2 α 1 − c α 2 ∣ α 2 ∣ 2 α 2 ⋮ α n = x − x α 1 ∣ α 1 ∣ 2 α 1 − x α 2 ∣ α 2 ∣ 2 α 2 − ⋯ − x α n − 1 ∣ α n − 1 ∣ 2 α n − 1 \begin{aligned} \bm{\alpha_1} &= \mathbf{a} \\ \bm{\alpha_2} &= \mathbf{b}-\frac{\mathbf{b} \ \bm{\alpha_1}}{|\bm{\alpha_1}|^2} \ \bm{\alpha_1} \\ \bm{\alpha_3} &= \mathbf{c}-\frac{\mathbf{c} \ \bm{\alpha_1}}{|\bm{\alpha_1}|^2} \ \bm{\alpha_1}-\frac{\mathbf{c} \ \bm{\alpha_2}}{|\bm{\alpha_2}|^2} \ \bm{\alpha_2} \\ \vdots \\ \bm{\alpha_n} &= \mathbf{x}-\frac{\mathbf{x} \ \bm{\alpha_1}}{|\bm{\alpha_1}|^2} \ \bm{\alpha_1}-\frac{\mathbf{x} \ \bm{\alpha_2}}{|\bm{\alpha_2}|^2} \ \bm{\alpha_2} \ - \ \cdots - \ \frac{\mathbf{x} \ \bm{\alpha_{n-1}}}{|\bm{\alpha_{n-1}}|^2} \ \bm{\alpha_{n-1}} \end{aligned} α1α2α3⋮αn=a=b−∣α1∣2b α1 α1=c−∣α1∣2c α1 α1−∣α2∣2c α2 α2=x−∣α1∣2x α1 α1−∣α2∣2x α2 α2 − ⋯− ∣αn−1∣2x αn−1 αn−1
公式解读：在使用第n个向量计算第n个正交向量时，只要在第n个向量中排除掉前(n-1)个正交向量的组分，就能得到第n个正交向量。
具体推导的图解请参看知乎回答。
将非正交基转为正交基，便于表示。
通俗来说，就是将一对歪歪斜斜的基向量掰成标准正交基。（强迫症）
Gram-Schmidt公式推到中的方法是纯数的方法，但是在数值运算方法中（计算机操作）不会严格按照数学方法来。具体如下所述。
由此，我们看拿出Modified G-S的思想是：
使用第k个线性无关向量组的向量 w k \mathbf{w_k} wk计算第k个正交基 u k \mathbf{u_k} uk时，就是在 w k \mathbf{w_k} wk中排除掉前 k − 1 k-1 k−1个正交基的组分，剩余的就是 u k \mathbf{u_k} uk的组分，再除以系数即可。
为了解决这一问题，就有了Stable Gram-Schmidt算法（SGS）。
不同于Modified Gram-Schmidt，SGS算法的核心思想是：
每使用一个线性无关组向量
w
k
\mathbf{w_k}
wk求出一个单位正交基向量
u
k
\mathbf{u_k}
uk，那么剩余的
w
k
+
1
\mathbf{w_{k+1}}
wk+1到
w
L
\mathbf{w_L}
wL这些向量都要立即原地减去其中所含的
u
k
\mathbf{u_k}
uk组分，进行更新。
每计算出一个新的单位正交基向量，就当场把剩余线性无关组向量中的此组分排除掉
与3.1中的问题一致，使用SGS可以抵消微小误差的影响，算法更具有鲁棒性。
我们注意到，使用两种算法计算所得的 u 3 \mathbf{u_3} u3向量时不同的，因此着重比较一下两算法计算 u 3 \mathbf{u_3} u3时的差别：( u 3 = v 3 ∣ ∣ v 3 ∣ ∣ 2 \mathbf{u_3} = \frac{\mathbf{v_3}}{||\mathbf{v_3}||_2} u3=∣∣v3∣∣2v3)
从理论上讲， u 1 \mathbf{u_1} u1与 u 2 \mathbf{u_2} u2是要正交的，因此 u 2 T u 1 = 0 \mathbf{u_2^Tu_1}=0 u2Tu1=0，最后多出的这一项在理论上就是不存在了。
但是在数值计算(计算机运算)时候存在一定的误差，此时最后这一项不再为0，它的存在也有助于保证在误差存在情况下的稳定性。
这一项在理论上不存在，但实际上有利于保持stability.
在一个 k k k维空间中，我们已知了 k − 1 k-1 k−1个单位正交基向量 u 1 \mathbf{u_1} u1、 u 2 \mathbf{u_2} u2、 ⋯ \cdots ⋯、 u k − 1 \mathbf{u_{k-1}} uk−1，这些正交基列向量组成一个矩阵 A \mathbf{A} A={ u 1 u 2 ⋯ u k − 1 \mathbf{u_1} \ \mathbf{u_2} \ \cdots \ \mathbf{u_{k-1}} u1 u2 ⋯ uk−1}。此外，还已知一个在 k k k维上都有分量的向量 w \mathbf{w} w。问：如何找到第 k k k个单位正交基向量 u k \mathbf{u_k} uk呢？
实际上，要找到这最后一个正交向量，我们只需要排除掉向量
w
\mathbf{w}
w中所含有的前(
k
−
1
k-1
k−1)个单位正交向量组分即可。因此，我们可以找一个系数向量
x
\mathbf{x}
x，其中包含了前(
k
−
1
k-1
k−1)个单位正交向量组分的系数，在所有可能的向量
x
\mathbf{x}
x中，我们希望
A
x
\mathbf{Ax}
Ax就是向量
w
\mathbf{w}
w中前(
k
−
1
k-1
k−1)个单位正交向量组分，因此可以使用LS算法来进行优化：
x
∗
=
a
r
g
min
x
∣
∣
w
−
A
x
∣
∣
2
2
v
k
=
w
−
A
x
∗
u
k
=
v
k
∣
∣
v
k
∣
∣
2
\mathbf{x^*} = arg\min_{x}||\mathbf{w}-\mathbf{Ax}||_2^2 \\ \mathbf{v_k} = \mathbf{w}-\mathbf{Ax^*} \\ \mathbf{u_k} = \frac{\mathbf{v_k}}{||\mathbf{v_k}||_2}
x∗=argxmin∣∣w−Ax∣∣22vk=w−Ax∗uk=∣∣vk∣∣2vk
我们来看看这个最优的
x
∗
\mathbf{x^*}
x∗究竟是什么呢？
x
∗
=
a
r
g
min
x
∣
∣
w
−
A
x
∣
∣
2
2
=
(
A
T
A
)
A
T
w
k
=
A
T
w
k
=
(
u
1
T
w
k
⋮
u
k
−
1
T
w
k
)
\begin{aligned} \mathbf{x^*} &= arg\min_{x}||\mathbf{w}-\mathbf{Ax}||_2^2 \\ &=(\mathbf{A^TA})\mathbf{A^Tw_k} \\ &=\mathbf{A^Tw_k} \\ &= \begin{pmatrix} \mathbf{u_1^Tw_k} \\ \vdots \\ \mathbf{u_{k-1}^Tw_k} \end{pmatrix} \end{aligned}
x∗=argxmin∣∣w−Ax∣∣22=(ATA)ATwk=ATwk=⎝
⎛u1Twk⋮uk−1Twk⎠
⎞
果然，最优的
x
∗
\mathbf{x^*}
x∗就是由向量
w
\mathbf{w}
w中前
k
−
1
k-1
k−1个单位正交基的组分的系数组成的。这样才能实现
∣
∣
w
−
A
x
∣
∣
2
2
||\mathbf{w}-\mathbf{Ax}||_2^2
∣∣w−Ax∣∣22的最小化，即当向量
w
\mathbf{w}
w排除到其他组分后，剩下的
u
k
\mathbf{u_k}
uk组分才能恰好与矩阵
A
\mathbf{A}
A所确定的超平面正交。
所以，回到问题，最后一个正交向量是：
v
k
=
w
−
A
x
∗
(
把组分全部排除掉
)
\mathbf{v_k} = \mathbf{w}-\mathbf{Ax^*}(把组分全部排除掉)
vk=w−Ax∗(把组分全部排除掉)
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