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java - 计算一系列数字的 LCM 的最有效算法是什么？

coder 2024-03-08 原文

我环顾四周，发现其他有答案的问题，但没有一个解决这个特定问题的范围，包括 this question , 还有 this one .

我必须以高效的方式计算大范围数字的 LCM。我没有太深入地研究那些其他问题，因为它们不处理与该算法必须处理的数字范围一样大的数字范围。

我现在得到的代码可以在大约 90 秒内计算出 1 到 350000 之间每个数字的 LCM。 (结果数字长约 76000 个十进制数字)。我希望最终能够将它扩展到数百万甚至数十亿个元素的范围内。

它最终可能会被并行化。对于某些算法，这一点都不难，对于其他算法，它会更棘手(例如，如果该算法使用当前生成的 LCM 来计算其计算的其他部分的素数)

这里是:

public static BigInteger getLCMOfRange(BigInteger lower, BigInteger upper)
{
    BigInteger M = BigInteger.ONE;
    BigInteger t;
    
    // long l = System.currentTimeMillis();
    // System.out.println("Calculating LCM of numbers up to " + upper + "...");
    for (; lower.compareTo(upper) != 1; lower = lower.add(BigInteger.ONE))
    {
        t = M.gcd(lower);
        if (t.compareTo(lower) == 0)
            continue;
        M = M.multiply(lower).divide(t);
    }
    // System.out.println("Done.  Took " + (System.currentTimeMillis() - l) + " milliseconds.  LCM is " + M.bitCount()+ " bits long.");
    return M;
}

请注意，与典型的 for 循环不同，此函数对 [lower, upper] 而不是 [lower, upper) 进行操作。此行为是故意的。

一点支持性数学是，一些数字集的 LCM 乘以素数集的乘积，从中可以生成任何一个数字，而不需要池外的任何数字。如果我的范围是 [1,20]，我可以用以下方式表示:

1: 1         6:  3*2      11: 11       16: 2^4
2: 2         7:  7        12: 3*2^2    17: 17
3: 3         8:  2^3      13: 13       18: 3^2*2
4: 2^2       9:  3^2      14: 7*2      19: 19
5: 5         10: 5*2      15: 5*3      20: 5*2^2

LCM{[1,20]}: 2^4*3^2*5*7*11*13*17*19 = 232792560

有没有更有效的方法来计算如此大范围的 LCM？

我不在乎有人建议的算法是否非常占用内存，在这种情况下，时间性能比内存性能重要得多(也更昂贵)。

这不是作业题。

问题

计算非常大范围的数字的 LCM 的最有效方法是什么？该算法需要对非常广泛的数字进行操作，因此必须仔细优化。

附录 1

一个密切相关的问题是:计算一个 BigInteger(基于另一个 BigInteger)的对数的最有效方法是什么？结果值可以截断为最接近的整数。

最佳答案

这是算法的布局。我假设您总是从 1 开始:

  1. 找出范围内的质数。您可以使用 Eratosthenes 筛子获得 350000。要获得更大范围的数字，您需要 segmented sieve .

  2. 对于每个质数p，用对数函数求pe在范围内的最大指数e。将 pe 乘以 LCM。 (优化细节取决于您的实现)

为什么是正确的？

  • 对于形式为 pe 的数字，其中 p 是质数，并且 e >= 1，由于步骤 2，已包含在 LCM 中，因此 pe |液晶模组。
  • 其他数的形式为 N = p1e1p2e< sub="">2...pnen(其中 pi是成对不同的素数和 ei>= 1)，它大于或等于 piei(对于从 1 到 n 的所有 i)。由于 piei | LCM，由于之前的争论，N |液晶模组。

关于java - 计算一系列数字的 LCM 的最有效算法是什么？，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/11977582/

javaLCMsubBigIntegersupalgorithmoptimization

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