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c# - 用多边形逼近椭圆

coder 2024-05-23 原文

我正在处理地理信息，最近我需要画一个椭圆。为了与 OGC 约定兼容，我不能按原样使用椭圆；相反，我通过使用椭圆包含的多边形并使用任意多个点来使用多边形来近似椭圆。

我用于为给定数量的点 N 生成椭圆的过程如下(使用 C# 和一个虚构的多边形类):

Polygon CreateEllipsePolygon(Coordinate center, double radiusX, double radiusY, int numberOfPoints)
{
    Polygon result = new Polygon();
    for (int i=0;i<numberOfPoints;i++)
    {
        double percentDone = ((double)i)/((double)numberOfPoints);
        double currentEllipseAngle = percentDone * 2 * Math.PI;
        Point newPoint = CalculatePointOnEllipseForAngle(currentEllipseAngle, center, radiusX, radiusY);
        result.Add(newPoint);
    }
    return result;
}

到目前为止，这对我很有用，但我注意到它有一个问题:如果我的椭圆是“粗壮的”，即 radiusX 比 radiusY 大得多，则椭圆顶部的点数椭圆与椭圆左边的点数相同。

那是浪费积分!在椭圆的上部添加一个点几乎不会影响我的多边形近似的精度，但在椭圆的左侧添加一个点会产生重大影响。

我真正想要的是一种用多边形近似椭圆的更好算法。我需要从这个算法中得到什么:

  • 必须接受点数作为参数；可以接受每个象限中的点数(我可以在“有问题”的地方反复添加点，但我需要很好地控制我使用的点数)
  • 必须以椭圆为界
  • 它必须包含椭圆中心正上方、正下方、正左和正右的点
  • 它的面积应该尽可能接近椭圆的面积，当然优先考虑给定点数的最优值(参见 Jaan 的回答 - 显然这个解决方案已经是最优的)
  • 多边形中的最小内角最大

我的想法是找到一个多边形，其中每两条线之间的角度始终相同 - 但不仅我找不到如何生成这样的多边形，我什至不确定存在，即使我取消限制!

有人知道如何找到这样的多边形吗？

最佳答案 

finding a polygon in which the angle between every two lines is
always the same

是的，这是可能的。我们要找到(第一)椭圆象限的这样的点，这些点的切线角度形成等距(相同的角度差)序列。不难发现那个切点

x=a*Cos(fi)
y=b*Sin(Fi)

derivatives
dx=-a*Sin(Fi), dy=b*Cos(Fi)
y'=dy/dx=-b/a*Cos(Fi)/Sin(Fi)=-b/a*Ctg(Fi)

导数y'描述切线，这个切线有角系数

k=b/a*Cotangent(Fi)=Tg(Theta)
Fi = ArcCotangent(a/b*Tg(Theta)) = Pi/2-ArcTan(a/b*Tg(Theta))

由于relation for complementary angles

其中 Fi 从 0 到 Pi/2，Theta 从 Pi/2 到 0。
因此，每个象限查找 N + 1 个点(包括极值点)的代码可能看起来像(这是生成附图的 Delphi 代码)

  for i := 0 to N - 1 do begin
    Theta := Pi/2 * i /  N;
    Fi :=  Pi/2 - ArcTan(Tan(Theta) * a/b);
    x := CenterX + Round(a * Cos(Fi));
    y := CenterY + Round(b * Sin(Fi));
  end;
  // I've removed Nth point calculation, that involves indefinite Tan(Pi/2) 
  // It would better to assign known value 0 to Fi in this point

完美角度多边形草图:

关于c# - 用多边形逼近椭圆，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/22694850/

c#多边点数sectiongeometrypolygoncomputational-geometryellipse

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