大家好，今天和大家分享一下图算法中的静态几何特征，以及如何使用python中的networkx库实现度分布、效率、直径、距离、度-度相关性、介数、核度。内容较多，可通过右侧目录栏跳转。

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1. 度分布

1.1 节点的度

以无向网络为例。在网络中，节点  的邻边数  称为该节点的度，是根据网络的邻接矩阵  求得的。计算公式如下：

对网络中所有节点的度求平均，可得到网络的平均度 

无向无权图的邻接矩阵  的二次幂  的对角元素  就是节点  的邻边，即  。实际上，无向无权图的邻接矩阵  的第 i 行或第 i 列的元素之和也是度。从而无向无权网络的平均度就是  对角线元素之和除以节点数，即 ，式中  表示矩阵  的迹，即对角线元素之和。

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1.2 度分布

大多数实际网络中的节点的度是满足一定的概率分布的。定义  为网络中度为 k 的节点在整个网络中所占的比例。

规则网络：由于每个节点具有相同的度，所以其度分布集中在一个单一尖峰上，是一种Delta分布。

完全随机分布：度分布具有泊松分布的形式，每一条边的出现概率是相等的，大多数节点的度是基本相同的，并接近于网络平均度 ，若远离峰值，度分布则按指数形式急剧下降。把这类网络称为均匀网络。

无标度网络：具有幂指数形式的度分布，即  ，所谓无标度是指一个概率分布函数 F(x) 对于任意给定常数 a 存在常数 b 使得 F(ax) 满足 F(x)=bF(x)

幂律分布：是唯一满足无标度条件的概率分布函数。许多实际大规模无标度网络，其幂指数通常为  ，绝大多数节点的度相对很低，也存在少量度值相对很高的节点，把这类网络称为非均匀网络（异质网络）

指数度分布网络：满足  ，式中  一般为常数。

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1.3 累计度分布

使用累计度分布函数描述度的分布情况，它与度分布的关系是：  ，它表示度不小于k的节点的概率分布。

若度分布为幂律分布，即  ，则相应的累积度分布函数符合幂指数为  的幂分布：

若度分布为指数分布，即 ，则相应的累计度分布函数符合同指数的指数分布

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1.4 代码实现

1.4.1 泊松分布--ER随机网络

度分布的峰值所对应的横坐标就是网络的平均度

创建ER网络： nx.erdos_renyi_graph( 节点数, 连边概率 )

import networkx as nx
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 创建一个ER随机网络为例
n = 10000  # 网络节点数
p = 0.001  # 连边的概率0.001
# 生成ER网络
ER = nx.erdos_renyi_graph(n, p)

# 计算获取网络每个节点的度
d = dict(nx.degree(ER))
# 计算平均度=总度数/结点数
d_avg = sum(d.values()) / len(ER.nodes)  # 10.026

# 获取所有的度的值，及其对应的概率
# x记录有哪些度值
x = list(range(max(d.values())+1))
# 获取每个度值出现的次数
d_list = nx.degree_histogram(ER)
# y计算每个度值对应的出现概率=每个度值对应的结点个数/总节点数
y = np.array(d_list) / n

# 绘制度分布
plt.plot(x, y, 'o-')
plt.xlabel('du_num')
plt.ylabel('du_prob')
plt.show()

 度分布曲线如下：

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1.4.2 幂律分布--BA无标度网络

BA网络需要在双对数坐标轴下绘制，并且由于0值对应的无穷大没有意义，绘制时需要把0值剔除掉。

创建BA网络：nx.barabasi_albert_graph( 节点数, 平均度/2 )

import networkx as nx
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n = 10000  # 网络节点数
m = 3  # 平均度=6
# 生成网络
BA = nx.barabasi_albert_graph(n, m)

# 获取网络每个节点的度
d = dict(nx.degree(BA))
# 计算平均度=节点度总数/节点总数
d_avg = sum(d.values()) / len(BA.nodes)  # 5.9982

# 获取所有出现的度值
x = list(range(max(d.values())+1))
# 获取每个度出现的次数
d_list = nx.degree_histogram(BA)
# 计算没个度值出现的概率=每个度值对应的结点个数/总结点数
y = np.array(d_list) / len(BA.nodes)

#（1）在普通坐标轴下绘制度分布图
plt.plot(x, y, 'o-', color='b')
plt.xlabel('du_num')
plt.ylabel('du_prob')
plt.show()

#（2）在双对数坐标轴下绘制，由于坐标中存在0出现无穷大的情况
plt.plot(x, y, 'o-', color='r')
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')
plt.xlabel('du_num')
plt.ylabel('du_prob')
plt.grid()
plt.show()

#（3）在双对数坐标轴下绘制，并且把点0值坐标排除
new_x = []
new_y = []
# 删除0值
for i in range(len(x)):
    if y[i] != 0:
        new_x.append(x)
        new_y.append(y)

# 绘图
plt.plot(new_x, new_y, 'o-', color='g')
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')
plt.xlabel('du_num')
plt.ylabel('du_prob')
plt.grid()
plt.show()

第一张是在普通坐标系下，第二张是双对数坐标系下，第三张是双对数坐标系下删除0值

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2. 网络的效率、直径和平均距离

2.1 方法介绍

网络中的两节点  和  之间经历边数最少的一条简单路径（经历的边各不相同），称为测地线。

测地线的边数  称为两节点  和  之间的距离（两节点之间的最短路径长度）

 称为节点  和  之间的效率，记为 ，通常效率用来度量节点之间的信息传递速度。当  和  之间没有路径连通时，，而  。所以效率很适合度量非全连通网络。

网络的直径D定义为所有距离  中的最大值：

平均距离（特征路径长度）L定义为所有节点对之间距离的平均值，它描述了网络中节点间的平均分离程度，即网络有多小，计算公式为：

对于无向图来说， 且 ，那么上面的公式可以简化为：

很多实际网络虽然节点数巨大，但平均距离却很小，这称为小世界效应。

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2.2 代码实现

网络直径： nx.diameter( Graph )

两个节点之间的效率： nx.efficiency( Graph, 节点1, 节点2 )

两个节点之间的最短路径： nx.shortest_path_length( Graph, 节点1, 节点2 )

网络的局部效率： nx.local_efficiency( Graph )

网络的全局效率： nx.global_efficiency( Graph )

网络的平均距离： nx.average_shortest_path_length( Graph )

import networkx as nx

#（1）直径
# 创建1000各节点，平均度为6的BA网络
G1 = nx.barabasi_albert_graph(1000, 3)
# 计算网络的直径=6
print( nx.diameter(G1) )

#（2）效率
# 计算节点1和5之间的效率=0.5
print( nx.efficiency(G1,1,5) )

#（3）最短路径
# 计算节点1和5之间最短路径长度=2
print( nx.shortest_path_length(G1,1,5) )

# 效率==最路距离长度的倒数

#（4）局部效率
print( nx.local_efficiency(G1) )  # 0.03958432238854824

#（5）全局效率
print( nx.global_efficiency(G1) )  # 0.30804264264331954

#（6）求整个网络的平均距离
# 1k个节点只有3.4的平均距离，距离很小
print( nx.average_shortest_path_length(G1) )  # 3.4374934934934935

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4. 度-度相关性

4.1 基于最近邻平均度值的度-度相关性

度-度相关性描述了网络中度大的节点和度小的节点之间的关系。若度大的节点倾向于和度大的节点连接，则网络是度-度正相关的；反之，若度大的节点倾向于和度小的节点连接，则网络是度-度负相关的。

节点  的最近邻平均度值是把节点 Vi 的邻居的度值加起来求平均，公式如下：

 

式中， 表示节点  的度值， 为邻接矩阵元素。

所有度值为 k 的节点的最近邻平均度值的平均值 ，公式如下：

式中，N 表示节点总数，p(k) 为度分布函数。

如果  是随着 k 上升的增函数，则说明度值大的节点倾向于和度值大的节点连接，网络具有正相关特性，称之为同配网络；反之是单调递减函数，则网络具有负相关特性，称之为异配网络。

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4.2 代码实现

import networkx as nx
# 参数是网络
def average_nearest_neighbor_degree(G):
    # 获取所有可能的度
    k = set([G.degree(i) for i in G.nodes()])
    # 从小到大排序所有的度
    sorted_k = sorted(k)
    
    # 求所有度值对应的最近邻平均度
    k_nn_k = []
    for ki in sorted_k:
        c = 0
        k_nn_i = 0
        for i in G.nodes():
            if G.degree(i) == ki:
                k_nn_i += sum([G.degree(j) for j in list(nx.all_neighbors(G,i))]) / ki
                c += 1
        k_nn_k.append(k_nn_i/c)
    
    # 返回所有可能的度，以及度对应的最近邻平均度
    return sorted_k, k_nn_k

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5. 介数

5.1 概念介绍

要衡量一个节点的重要程度，其度值当然可以作为一个衡量指标，但又不尽然，例如在社会网络中，有的节点的度虽然很小，但它可能是两个社团的中间联络人，如果去掉该节点，那么就会导致两个社团的联系中断，因此该节点在网络中起到极其重要的作用。对于这样的节点，需要定义另一种衡量指标，这就引出了另一种重要的全局几何量--介数

介数分为节点介数和边介数两种，反映了节点或边在整个网络中的作用和影响力。

节点的介数 Bi 定义如下：

式中， 代表节点  和  之间的最短路径条数， 表示节点  和  之间的最短路径经过节点  的条数。

边的介数 Bij 定义如下：

式中， 代表节点  和  之间的最短路径条数， 表示节点  和  之间的最短路径经过边  的条数

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5.2 代码实现

计算每个节点的介数： nx.betweenness_centrality( Graph )

计算每条连边的介数： nx.edge_betweenness_centrality( Graph )

import networkx as nx
# 首先创建一个BA无标度网络
BA = nx.barabasi_albert_graph(20, 2)

#（1）计算每个节点的介数
bc = nx.betweenness_centrality(BA)
# 以字典保存，键是节点，值是介数
print(bc)
# 获取介数最大的节点标签
max_id = max(bc, key=bc.get)
print(max_id)  # 3 

#（2）计算每条边的介数
ebc = nx.edge_betweenness_centrality(BA)
# 以字典保存，键是边，值是介数
print(ebc)
# 获取介数最大的连边的标签
max_ebc = max(ebc, key=ebc.get)
print(max_ebc)  #(3,8)

# 绘制网络
nx.draw(BA, node_size=500, with_labels=True)

绘制网络图

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6. 核度

6.1 概念介绍

一个图的 k-核 是指反复去掉度值小于 k 的节点及其连线后，所剩余的子图，该子图的节点数就是该核的大小。

若一个节点属于 k-核，而不属于 (k+1)-核 ，则此节点的核度为 k

节点核度的最大值叫做网络的核度。

节点的核度可以说明节点在核中的深度，核度的最大值自然就对应着网络结构中最中心的位置。k-核 解析可用来描述度分布所不能描述的网络特征，揭示源于系统特殊结构和层次性质。

如下图所示，首先设定一个阈值ks=1，将网络中所有节点的度小于等于1的节点全部删除，直到网络中不存在度小于等于1的节点。有的节点一开始的度是大于1的，但是由于邻接的节点的度是1被删除了，从而导致这个节点的度小于等于1，也要被删除。

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6.2 代码实现

计算每个节点的核度： nx.core_number( Graph )

import networkx as nx
# 首先创建一个club网络
kcg = nx.karate_club_graph()

# 计算每个节点的核度
ks = nx.core_number(kcg)
# 以字典类型保存，键是节点，值是节点的核度
print(ks)

# 获取核度最大的节点标签
max_id = max(ks, key=ks.get)
print(max_id)  # 0

# 绘制网络
nx.draw(BA, node_size=500, with_labels=True)

绘制网络图