我正在尝试解决 Project Euler problem 240 :
In how many ways can twenty 12-sided dice (sides numbered 1 to 12) be rolled so that the top ten sum to 70?
我想出了解决这个问题的代码。但是计算起来确实需要很多时间。我知道这种方法很糟糕。有人可以建议我如何修复此代码以提高性能吗？
import itertools
def check(a,b): # check all the elements in a list a, are lesser than or equal to value b
chk=0
for x in a:
if x<=b:
chk=1
return chk
lst=[]
count=0
for x in itertools.product(range(1,13),repeat=20):
a=sorted([x[y] for y in range(20)])
if sum(a[-10:])==70 and check(a[:10],min(a[-10:])):
count+=1
以下代码针对 problem 描述中定义的问题.它完美地工作并给出了确切的解决方案....
import itertools
def check(a,b):
chk=1
for x in a:
if x>b:
chk=0
break
return chk
count=0
for x in itertools.product(range(1,7),repeat=5):
a=sorted([x[y] for y in range(5)])
if sum(a[-3:])==15 and check(a[:2],min(a[-3:])):
count+=1
最佳答案
遍历所有可能性并不好，因为有 1220 = 3833759992447475122176 种方法可以掷 20 个十二面骰子，假设每秒掷一百万次，这将需要数百万次年完成。
解决这类问题的方法是使用dynamic programming .找到一些方法将您的问题拆分为几个较小问题的总和，并建立这些子问题的答案表，直到您可以计算出您需要的结果。
例如，设 T(n, d, k, t) 为路数掷 n d 面的骰子，使它们顶部的 k 总和为 t。我们如何将其分解为子问题？好吧，我们可以考虑恰好掷 d 的骰子数 i。有 nCi 种方法来选择这些 i 个骰子，并且 T( n − i, d − 1, ...) 选择n − i 剩余的骰子最多必须滚动 d − 1。(对于 k 和 t 的一些合适的参数选择，我已经省略了。)
取这些的乘积，然后将其相加得到 i 的所有合适值，您就完成了。 (好吧，还没有完全完成:您必须指定基本情况，但这应该很容易。)
您需要计算的子问题的数量最多为 (n + 1)(d + 1)(k + 1)(t + 1)，在欧拉计划的情况下 (n = 20, d = 12, k = 10, t = 70) 最多为 213213。(实际上，它比这少得多，因为树的许多分支很快达到基本情况:在我的实现中结果是仅 791 个子问题的答案就足以计算答案。)
要编写一个动态程序，通常最简单的方法是递归地表达它并使用memoization。以避免重新计算子问题的答案。在 Python 中，您可以使用 @functools.lru_cache decorator .
因此您的程序的框架可能如下所示。我用 ??? 替换了关键细节，以免剥夺您自己解决问题的乐趣。在尝试更大的案例之前，使用小示例(例如“两个 6 面骰子，顶部 1 个骰子的总和为 6”)来检查您的逻辑是否正确。
def combinations(n, k):
"""Return C(n, k), the number of combinations of k out of n."""
c = 1
k = min(k, n - k)
for i in range(1, k + 1):
c *= (n - k + i)
c //= i
return c
@lru_cache(maxsize=None)
def T(n, d, k, t):
"""Return the number of ways n distinguishable d-sided dice can be
rolled so that the top k dice sum to t.
"""
# Base cases
if ???: return 1
if ???: return 0
# Divide and conquer. Let N be the maximum number of dice that
# can roll exactly d.
N = ???
return sum(combinations(n, i)
* T(n - i, d - 1, ???)
for i in range(N + 1))
通过对所有 ??? 进行适当的选择，这将在几毫秒内解决 Project Euler 问题:
>>> from timeit import timeit
>>> timeit(lambda:T(20, 12, 10, 70), number=1)
0.008017531014047563
>>> T.cache_info()
CacheInfo(hits=1844, misses=791, maxsize=None, currsize=791)
关于python - 欧拉计划 240 : number of ways to roll dice，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/13836932/
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