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Boundary Value Problem (BVP) 两点边界最优控制问题

中年突破口 2024-06-27 原文

前提

一维的无人机系统,考虑起点的状态以及终点的状态,所以只考虑一个X轴,考虑这个轴上的参数的变化。现将X(t)进行多项式的参数化。最高次数可以自己选择,看提供的自由度。


通过初始条件来求得以上方程的解,但是因为给出的两个解,最后肯定会求得很多的解,那么困难的一点就是如何从所得的解当中求得一个最优的解。

翻译成人话就是:给定两个状态,初始状态与末尾状态,怎么去得到这两个状态之间的连线,轨迹生成的有关问题。

方法:最优控制当中的最小值原理

这也是一个现代的变分法,是一种很成熟的解决控制问题的方法,具体步骤如下:

  1. 构建哈密顿函数
  2. 构建正则方程组
  3. 最小值原理
  4. 相轨迹分析
  5. 确定最优量

    哈密顿函数的构造,看性能指标,引入拉格朗日乘子,此性能指标综合了拉格朗日性能指标以及梅耶性能指标。

    在最优控制当中,最小值原理是包括终端的状态以及状态转移当中的一个能量的损耗。

    这就是极小值原理当中的正则方程组。

    这上面的PPT可能不太好理解,我把最优控制教材中的PPT放出来应该就会好理解一点。

    这两个表达式就是上方刚刚所得的求偏导的表达式,也称作是正则方程组。


    不太理解的小伙伴可以去看一下王青老师的《最优控制》教材。

Equation


现在的性能指标相比上述的波尔扎型性能指标少掉了终端的状态,因为无论如何这个系统都是要到达终端状态的,所以这是一个硬约束,所以不写h,如果到达了终点,h是0的,如果没到,h是无穷大的。

Solving



关于lambda的那一组状态空间的解是如何解出的,因为lambda的偏导数是(0,-lambda1,-lambda2),所以可知lambda1的偏导为0,所以积分,得到lambda1=a(记作a),再代入到lambda2当中,lambda2的导数等于-lambda1,所以就再两边积分,得到lambda2=-at+c1(c1为常数),依次类推就可以推出lambda3,就可得到lambda(t)的状态空间解。

写成lambda(t)的那种形式,是因为后面求解起来更方便,其实都是一样的。

之前求lambda当中的常数是要通过边界条件进行求解的,但是现在没有h,是不可导的,所以只能通过其他的条件进行求解。

而且还已知了s的导数,所以可以对s进行积分,把s的表达式给确定出来。仔代入s0的初始条件,就可以得出s的最优解。

现在关于J,是一个包含T的多项式,所以可以对T一直进行求导,最后肯定会得到一个T的最优解,
这一步是最复杂的求T得操作。

Application


无人机计算最优的轨迹。

无人车是没有侧滑的轨迹。

工程上常用–Trajectory Library


从轨迹库当中生成一系列段轨迹,然后再根据回报进行打分,看看哪个轨迹通过我们这个打分函数能得到一个最小的代价,之后再选择所需要的轨迹去执行就是了。

启发式函数的加入

不考虑障碍物,只考虑两点的距离。

在A*当中的启发式函数算的cost是隔点与隔点之间的距离,而现在因为考虑机器人运动学模型,cost就是要考虑结点与结点之间的feasible motion connections。

Planning in Frenet-serret Frame

自动驾驶当中的常用算法。


同样的可以使用OBVP最优控制的方法来解决。

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