我正在为离散数学设计一个类库，但我想不出一种方法来实现 infinite set .
到目前为止我所拥有的是:我有一个抽象基类 Set，它实现了接口(interface) ISet。对于有限集，我派生了一个 FiniteSet 类，它实现了每个 set 方法。然后我可以像这样使用它:
FiniteSet<int> set1 = new FiniteSet<int>(1, 2, 3);
FiniteSet<int> set2 = new FiniteSet<int>(3, 4, 5);
Console.WriteLine(set1); //{1, 2, 3}
Console.WriteLine(set2); //{3, 4, 5}
set1.UnionWith(set2);
Console.WriteLine(set1); //{1, 2, 3, 4, 5}
现在我想表示一个无限集。我有从集合派生另一个抽象类 InfiniteSet 的想法，然后使用该库的开发人员必须从 InfiniteSet 派生来实现他们自己的类。我会提供常用的集合，例如 N、Z、Q 和 R。
但我不知道如何实现像 Subset 和 GetEnumerator 这样的方法 - 我什至开始认为这是不可能的。您如何以实用的方式枚举无限集，以便您可以将它与另一个无限集相交/合并？如何在代码中检查 N 是 R 的子集？至于基数问题……好吧，那可能是一个单独的问题。
所有这些使我得出结论，我实现无限集的想法可能是错误的方法。非常感谢您的意见:)。
编辑:为了清楚起见，我还想表示不可数的无限集。
Edit2:我认为重要的是要记住最终目标是实现 ISet，这意味着任何解决方案都必须提供(它应该)实现所有 ISet's methods 的方法。 ，其中最有问题的是枚举方法和 IsSubsetOf 方法。
最佳答案
不可能完全实现ISet<T>对于不可数无限集。
这是一个证明(由 Bertrand Russell 提供):
假设您创建了一个类 MySet<T>可以表示一个不可数的无限集合。现在让我们考虑一些MySet<object>对象。
我们标记一个特定的 MySet<object> , 称之为 instance , "异常"如果:
instance.Contains(instance)返回真。
类似地，我们将标记为 instance作为“正常”，如果:
instance.Contains(instance)返回 false。
请注意，此区分对于所有 instance 都是明确定义的.
现在考虑 MySet<MySet<object>> 的一个实例称为 paradox .
我们定义paradox作为 MySet<MySet<object>>其中包含 MySet<object> 的所有可能正常实例.
应该做什么paradox.Contains(paradox)返回？
如果返回true , 然后 paradox是异常，应该返回false当被调用时。
如果返回false然后paradox是正常，应该返回true当被调用时。
没有办法实现Contains解决这个悖论，所以没有办法完全实现ISet<T>对于所有可能的不可数集。
现在，如果您限制 MySet<T> 的基数等于或小于连续统的基数 (|R|)，那么您将能够绕过这个悖论。
即便如此，您也无法实现 Contains或类似的方法，因为这样做等同于解决停机问题。 (请记住，所有 C# 程序的基数等于 |Z| <>
编辑
为了更彻底，这里是对我的断言“这样做等同于解决停机问题”的解释。
考虑 MySet<string>它由所有在有限时间内停止的 C# 程序(作为字符串)组成(准确地说，假设它们因任何输入而停止)。叫它paradox2 .该集合是 *递归可枚举的”，这意味着您可以在其上实现 GetEnumerator(不容易，但有可能)。这也意味着它定义明确。但是，这个集合不是“可判定的”，因为它的补码是不可递归枚举。
定义一个C#程序如下:
using ... //Everything;
public static class Decider {
private MySet<string> _haltingSet = CreateHaltingSet();
static void Main(string [] args) {
Console.WriteLine(_haltingSet.Contains(args[0]));
}
}
编译上述程序，并将其作为输入传递给自身。会发生什么？
如果您的 Contains方法被正确实现，那么你就解决了停机问题。但是，我们知道那是不可能的，所以我们只能得出结论，不可能正确实现 Contains。 , 即使是可数无限集。
您可以限制您的 MySet<T>为所有人工作的类(class)decidable sets.但是，您仍然会遇到函数从不在有限时间内停止的各种问题。
例如，假设我们有一个名为 Real 的任意精度实数类型，让我们nonHalting是 MySet<Real> 的实例其中包括黎曼 Zeta 函数的所有非平凡零点(这是一个可判定集)。如果你能正确实现 IsProperSubsetOf在 nonHalting当通过实部为 1/2 的所有复数集(也是可判定集)时，在有限的时间内返回，那么您将赢得 Millennium Prize.
关于c# - 如何实现无限集合类？，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/11659678/
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