1.掌握求解LMI的目的（以及整套流程）

   掌握matlab中LMI工具箱的函数使用

2.掌握schurs补

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一.掌握求解LMI的目的（以及整套流程）

    掌握matlab中LMI工具箱的函数使用

1.首先初始化

setlmis([])      %注意这只是定义了一个矩阵不等式系统，并没有定义矩阵

2.定义矩阵变量

limvar（在LMI问题中指定矩阵变量）函数，函数格式
X = lmivar(type,struct)

type为矩阵格式

type = 1 为对角块对称矩阵格式，每个对角块都是全矩阵（任意对称矩阵），标量（单位矩阵的倍数）或相同的零。

type = 2 为m*n任意矩阵格 struct =[m n]

struct定义对角块矩阵的格式，

如有r个对角块，struct就是r x 2为的矩阵。
eg：X0 = limvar(1,[2 1;1 0]) ，[2 1]表示2x2的满阵，[1 0]表示1x1的标量

参考：https://blog.csdn.net/weixin_44051006/article/details/99754816

3.定义矩阵不等式

lmiterm([第几个不等式矩阵 行坐标 列坐标 要求的未知矩阵] , 左乘矩阵，右乘矩阵，'s'是否对称转置);

注意：

所有的工具箱中始终以‘<’   小于号来计算lmiterm项（不是用‘>’ 大于号来计算）

小于号左边标记为正号，小于号右边为负号

eg1.1.

S>I   在工具箱中的表示代码为:

（要将大于号换成小于号，即表示为I<S）

lmiterm([3,1,1,0],1)%为正3

lmiterm([-3,1,1,S],1,1)%为负3

eg1.2.

4.实战写代码

eg.1：

出个题，按照下面给出的参数，在matlab中用工具箱搭建出相对应的代码

（先自己思考，再看答案掌握更加深刻）

其中：alpha=0.2;

beta=sqrt(alpha*(1-delta));

 答案：（下面附上本例子的代码。）

function [Q1,K]=LMI_learning0()
clc;
close all;
clear all;
%{
程序功能：求解LMI可行解
2022.2.17
%}

%% 参数初始化
rho=0.9;
delta=0.0526;
alpha=0.2;
beta=sqrt(alpha*(1-delta));
A=[-1 3.5;-0.8 -0.5];
B=[-1 1;2 -1];
C=[1 -1;1 -1];
D=[-0.12 0.2;0.1 -0.1];
E=[-0.21 2.5;0.2 -0.3];
t=1;
Ft=diag([sin(t),cos(t)]);%对角矩阵

M1=D*Ft*E;
M2=B-D*Ft*E

u=alpha*(1-delta)
v=-beta*(1-beta)
w=(1-alpha)*(1-delta)
%% 描述矩阵不等式
%初始化LMI
setlmis([]);

%定义变量
n=2;
Q1=lmivar(1,[n,1]);%1表示为对角矩阵  [2，1]表示二阶满块矩阵
K=lmivar(1,[n,1]);

%逐个描述矩阵中每一个单元
lmiterm([1,1,1,Q1],-1,1)
%第（一行二列）的0矩阵不需要写就是0矩阵
lmiterm([1,1,3,0],A')%第（一行三列）的加法要分开算
%0表示外部变量
lmiterm([1,1,3,-K],u,M1')%-K表示转置
lmiterm([1,1,4,-K],v,M1')
lmiterm([1,2,2,0],-1)%表示单位矩阵I
lmiterm([1,2,3,-K],w,M2')
lmiterm([1,2,4,-K],-v,M2')
lmiterm([1,3,3,inv(Q1)],-1,1)
lmiterm([1,4,4,inv(Q1)],-1,1)

%另外两个矩阵表示Q1>0,K>0，（即为正定矩阵）
%也即0<Q1 , 0<K
lmiterm([-2,1,1,Q1],1,1)
lmiterm([-3,1,1,K],1,1)

lmisys=getlmis;%获取LMI信息

%% 求解LMI
[tmin,xfeas]=feasp(lmisys);%用feasp求解器求解

if(tmin<0)%小于0才有解
    disp('feasible!!!!!!!!!!!!!');
    Q1=dec2mat(lmisys,xfeas,Q1);%将Q1转换成可以识别的mat类型
    
    K=dec2mat(lmisys,xfeas,K);
else
    Q1=nan;
    K=nan;
end

end

参考：鲁棒控制理论（一）LMI矩阵不等式 - 知乎

          鲁棒控制理论（二）LMI矩阵不等式工具箱 - 知乎

          Matlab和控制理论（八）线性矩阵不等式LMI工具箱的使用_哔哩哔哩_bilibili

eg2.

主要看代码中的注释即可

Je=0.9145;
Jp=0.0364;
Kf=0.1188;
La=0.66;
Lh=0.178;

A=[0 0 1 0;
   0 0 0 1; 
   0 0 0 0;
   0 0 0 0];

B=[0 0;
    0 0; 
   (Kf*La)/Je (Kf*La)/Je;
   (Kf*Lh)/Jp -(Kf*Lh)/Jp];

C=[1 0 0 0;0 1 0 0];

N=[C;C*A];
M=[B A*B];

n=rank(N)
m=rank(M)

alpha=-10;
r=5;

setlmis([])
P=lmivar(1,[4 1]);%P为4*4
W=lmivar(2,[4 2]);%W为4*2
%% 
lmiterm( [1 1 1 P],1,A,'s');%PA+A.T*P
lmiterm( [1 1 1 W],-1,C,'s');%-WC-C.T*W.T
%{
矩阵为
[
    PA+A.T*P-WC-C.T*W.T<0
]
%}

lmiterm([ 2 1 1 P] , -1, 1);%-P
lmiterm([ 2 1 2 P] , 1, A);%PA
lmiterm([ 2 1 2 W] , -1, C);%-WC
lmiterm([ 2 1 2 P] , -alpha, 1);%-alpha*P
lmiterm([ 2 2 2 P] , -r^2, 1);%-r^2*P

%{
矩阵为
[
    -P , PA-WC--alpha*P;       <0
    0  , -r^2*P
]
%}
%%
lmisys=getlmis;

[tmin,xfeas]=feasp(lmisys);
P=dec2mat(lmisys,xfeas,P);
W=dec2mat(lmisys,xfeas,W);
L=pinv(P)*W

二.掌握schurs补

1.先讲一下下面的方法容易记住

2.再讲schur补的详细数学证明：（参考《鲁棒控制》——俞立  著）

3.举个例子

eg.如果想要下列不等式转换为线性矩阵不等式怎么办？（先自己思考，再看答案掌握更加深刻）

其中

思路：在matlab的LMI工具箱只能解”矩阵不等式“，所以要将上述不等式转化为”矩阵不等式“才可以用工具箱求解，用一个谚语来形容更好理解——换汤不换药（同样的不等式，只不过换成了矩阵形式）

解：（我自己写了一下，打字太麻烦，字丑见谅）

参考：2021-05-19 Schur补引理及证明_你这瓜保熟吗-CSDN博客_schur补引理

           舒尔补/schur补_颹蕭蕭-CSDN博客_舒尔补引理矩阵小于0

           matlab里LMI工具问题，如何根据schur补性质等价成矩阵不等式 – MATLAB中文论坛

           Matlab中的LMI工具箱的研究与使用

(1161条消息) 矩阵的舒尔补(Schur complement)_百把人的博客-CSDN博客_舒尔补