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上三角、下三角、对称矩阵

千秋TʌT 2023-11-09 原文

说明

 上三角矩阵是矩阵在对角线以下的元素均为0，即Aij = 0，i > j，例如：

1  2  3   4   5

0  6  7   8   9

0  0  10   11  12

0  0  0   13  14

0  0  0   0  15

下三角矩阵是矩阵在对角线以上的元素均为0，即Aij = 0，i < j，例如：

 1  0  0  0  0

 2  6  0  0  0

 3  7  10 0  0

 4  8  11 13 0

 5  9  12 14 15

对称矩阵是矩阵元素对称于对角线，例如：

 1  2  3  4  5

 2  6  7  8  9

 3  7  10 11 12

 4  8  11 13 14

 5  9  12 14 15

上三角或下三角矩阵也有大部份的元素不储存值（为0），我们可以将它们使用一维阵列来储存以节省储存空间，而对称矩阵因为对称于对角线，所以可以视为上三角或下三角矩阵来储存。

解法

 假设矩阵为nxn，为了计算方便，我们让阵列索引由1开始，上三角矩阵化为一维阵列，若以列为主，其公式为：loc = n*(i-1) - i*(i-1)/2 + j

化为以行为主，其公式为：loc = j*(j-1)/2 + i

下三角矩阵化为一维阵列，若以列为主，其公式为：loc = i*(i-1)/2 + j

若以行为主，其公式为：loc = n*(j-1) - j*(j-1)/2 + i

公式的导证其实是由等差级数公式得到，您可以自行绘图并看看就可以导证出来，对于C/C++或Java等索引由0开始的语言来说，只要将i与j各加1，求得loc之后减1即可套用以上的公式。

代码部分

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#define N 5 

int main(void) { 
    int arr1[N][N] = { 
        {1, 2, 3,  4,   5}, 
        {0, 6, 7,  8,   9}, 
        {0, 0, 10, 11, 12}, 
        {0, 0, 0,  13, 14}, 
        {0, 0, 0,  0,  15}}; 

    int arr2[N*(1+N)/2] = {0}; 

    int i, j, loc = 0; 

    printf("原二维资料：\n"); 
    for(i = 0; i < N; i++) { 
        for(j = 0; j < N; j++) { 
            printf("%4d", arr1[i][j]); 
        } 
        printf("\n"); 
    } 

    printf("\n以列为主："); 
    for(i = 0; i < N; i++) { 
        for(j = 0; j < N; j++) { 
            if(arr1[i][j] != 0) 
                arr2[loc++] = arr1[i][j]; 
        } 
    } 
    for(i = 0; i < N*(1+N)/2; i++) 
        printf("%d ", arr2[i]); 

    printf("\n输入索引(i, j)："); 
    scanf("%d, %d", &i, &j); 
    loc = N*i - i*(i+1)/2 + j; 
    printf("(%d, %d) = %d", i, j, arr2[loc]); 

    printf("\n"); 
    return 0; 
}

上三三角strongmargin-lefttext-align矩阵蓝桥杯线性代数

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