数学参考

有限差方法求导，Finite Difference Approximations of Derivatives，是数值计算中常用的求导方法。数学上也比较简单易用。本文主要针对的是向量值函数，也就是$$f(x):{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$$当然，普通的标量值函数是向量值函数的一种特例。

本文采用的数学参考是：有限差方法
参考的主要是Central Difference Approximations小节中的Second-order derivatives based on gradient calls的那个公式。

代码

用法

将下面代码中的Hessian矩阵一节中的Hessian函数直接复制到你的代码中，然后就可以按照用法示例使用。

特别要注意，eps的选择比较关键，直接决定了有限差方法的精度。建议大家根据函数参数的数量级动态的设置，例如某参数变化范围1-10，就可以设置为0.001；而某参数变化范围为0-0.0001，则可设置为0.000001，之类的。

用法示例

def func(x):
    x_0 = x[0]
    x_1 = x[1]
    return x_0**2 + x_1**2
hessian(func, [0,0], esp = [0.01, 0.01])

得到结果：

array([[2., 0.],
       [0., 2.]], dtype=float32)

函数主体

准备

本文的方法只需要numpy包，几乎可以说不需要任何包，而且不受到什么限制，只要满足输入格式就能求取，比所谓autograd，numdifftools好用的多。

梯度函数

为了求Hessian矩阵，本文采用的方法需要首先求取梯度。首先需要有一个函数func，示例的func如下：

def func(x, **args):
    x_0 = x[0]
    x_1 = x[1]
    return x_0**2 + x_1**2

该函数是一个${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$的函数。将该函数输入进下面的函数grad_func_generator中之后，就可以返回梯度函数，支持在任何一点求取梯度。这里输入x应该是一个列表，是各个维度的输入。例如x = [0,0].

def grad_func_generator(func, eps = 0.00001):
    def gradient_func(point):
        n_var = len(point)
        gradient = np.zeros(n_var, np.float32)
        # nth gradient
        for i in range(n_var):
            # 初始化左点和右点，同时不改变原来的展开点
            left_point = point.copy()
            right_point = point.copy()
            left_point[i] = point[i] - eps
            right_point[i] = point[i] + eps
            gradient[i] = (func(right_point) - func(left_point))/(2*eps)
        return gradient
    return gradient_func

求取梯度：

grad_f = grad_func_generator(func) # 生成梯度函数
grad_f([1,1])

可以得到结果：

array([2., 2.], dtype=float32)

Hessian矩阵

利用已经实现的梯度函数，可以实现Hessian矩阵。

# -*- coding: utf-8 -*-
# @author: Dasheng Fan
# @email: fandasheng1999@163.com

def hessian(func, point = [0, 0], eps = [0.001, 0.001]):
    """
    Hessian matrix of func at expendung point.
    """
    n_var = len(point)
    def grad_func_generator(func):
        def gradient_func(point):
            gradient = np.zeros(n_var, np.float32)
            # nth gradient
            for i in range(n_var):
                # 初始化左点和右点，同时不改变原来的展开点
                left_point = point.copy()
                right_point = point.copy()
                left_point[i] = point[i] - eps[i]
                right_point[i] = point[i] + eps[i]
                gradient[i] = (func(right_point) - func(left_point))/(2*eps[i])
            return gradient
        return gradient_func

    grad_func = grad_func_generator(func)
    hessian_matrix = np.zeros((n_var, n_var), np.float32)
    for i in range(n_var):
        for j in range(n_var):
            # 第一项
            left_point_j = point.copy()
            right_point_j = point.copy()
            right_point_j[j] = point[j] + eps[j]
            left_point_j[j] = point[j] - eps[j]
            diff_i = (grad_func(right_point_j)[i] - grad_func(left_point_j)[i])/(4*eps[j])
            # 第二项
            left_point_i = point.copy()
            right_point_i = point.copy()
            right_point_i[i] = point[i] + eps[i]
            left_point_i[i] = point[i] - eps[i]
            diff_j = (grad_func(right_point_i)[j] - grad_func(left_point_i)[j])/(4*eps[i])

            hessian_matrix[i, j] = diff_i + diff_j

    return hessian_matrix

可以通过输入函数func和求取二阶导数的点x，就可以输出该点处的Hessian矩阵。

hessian(func, [0,0])

得到结果

array([[2., 0.],
       [0., 2.]], dtype=float32)

如果和numdifftools的结果对照，可以发现一样。但是numdifftools非常难用，总是报错，而且速度奇慢，如果需要循环中算，更是龟速。我们的程序只需要numpy包就能实现，非常方便好用，速度非常快。