c++ - 在我的教科书上看不懂这个素数生成器算法

coder 2023-11-13 原文

我正在学习编程面试基础，但遇到了一个问题。它是关于编写一个 C++ 函数来查找从 1 到 n 的所有质数，对于给定的 n。

vector<int> generate_primes_from_1_to_n(const int &n) {
    int size = floor(0.5 * (n - 3)) + 1;
    // is_prime[i] represents (2i+3) is prime or not

    vector<int> primes; // stores the primes from 1 to n

    primes.push_back(2);
    vector<bool> is_prime(size, true);

    for(long i = 0; i < size; ++i) {
       if(is_prime[i]) {
           int p = (i << 1) + 3;
           primes.push_back(p);
           // sieving from p^2, whose index is 2i^2 + 6i + 3
           for (long j = ((i * i) << 1) + 6 * i + 3; j < size; j += p) {
               is_prime[j] = false;
           }
       }
    }
}

特别是，我无法理解注释的“从 p^2 筛选，其索引为 2i^2 + 6i + 3”部分。对于其他部分，我可以大致了解它们是如何工作的，但我不知道这个“2i^2 + 6i + 3”从何而来，它做了什么，以及它和它的相关部分是如何工作的代码有效。

谁能更好地解释这段代码？谢谢。

我得到这个输出(+'cout's 更好地理解它)

./a.out 100
size is: 49
for i = 0 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 3
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 3
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 6
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 9
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 12
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 15
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 18
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 21
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 24
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 27
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 30
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 33
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 36
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 39
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 42
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 45
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 0 is 48
for i = 1 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 5
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 1 is 11
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 1 is 16
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 1 is 21
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 1 is 26
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 1 is 31
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 1 is 36
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 1 is 41
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 1 is 46
for i = 2 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 7
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 2 is 23
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 2 is 30
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 2 is 37
((i * i) << 1) + 6 * i + 3 for i of 2 is 44
for i = 3 is_prime[i] is 0
for i = 4 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 11
for i = 5 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 13
for i = 6 is_prime[i] is 0
for i = 7 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 17
for i = 8 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 19
for i = 9 is_prime[i] is 0
for i = 10 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 23
for i = 11 is_prime[i] is 0
for i = 12 is_prime[i] is 0
for i = 13 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 29
for i = 14 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 31
for i = 15 is_prime[i] is 0
for i = 16 is_prime[i] is 0
for i = 17 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 37
for i = 18 is_prime[i] is 0
for i = 19 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 41
for i = 20 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 43
for i = 21 is_prime[i] is 0
for i = 22 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 47
for i = 23 is_prime[i] is 0
for i = 24 is_prime[i] is 0
for i = 25 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 53
for i = 26 is_prime[i] is 0
for i = 27 is_prime[i] is 0
for i = 28 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 59
for i = 29 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 61
for i = 30 is_prime[i] is 0
for i = 31 is_prime[i] is 0
for i = 32 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 67
for i = 33 is_prime[i] is 0
for i = 34 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 71
for i = 35 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 73
for i = 36 is_prime[i] is 0
for i = 37 is_prime[i] is 0
for i = 38 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 79
for i = 39 is_prime[i] is 0
for i = 40 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 83
for i = 41 is_prime[i] is 0
for i = 42 is_prime[i] is 0
for i = 43 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 89
for i = 44 is_prime[i] is 0
for i = 45 is_prime[i] is 0
for i = 46 is_prime[i] is 0
for i = 47 is_prime[i] is 1
pushing back p of size 97
for i = 48 is_prime[i] is 0

这对我来说也没有意义。

例如，为什么在下面的行中，对于 p=5，它从 11 而不是 5^2 = 25 开始删除它？推回大小为 5 的 p ((i * i) < 1)="" +="" 6="" *="" i="" +="" 3="" 因为="" i="" 的="" 1="" 是="">

此外，11 不是质数吗？这真的很困惑。请帮我。谢谢。

最佳答案

算法

您的素数生成器代码使用的算法称为“Eratosthenes 筛法”。通常，它会创建一个数字列表，并遍历该列表。当前数字的所有乘法都从列表中删除，其余数字为素数。

例如，让我们考虑 [2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15] .我们遇到 2，所以我们从列表中删除所有偶数:

[2,3,5,7,9,11,13,15]

3 相同:

[2,3,5,7,11,13]

5 , 7 , 11和 13列表中没有乘法，因此我们不删除任何内容并保留素数列表。

视觉示例

在这个例子中(由维基百科提供)，所有 2、3 和 5 的乘法都从列表中删除 - 2 的乘法被涂成粉红色，3 的乘法被涂成绿色，5 的乘法被涂成深蓝色。接下来将迭代 7，因此将其突出显示。深色数是质数，浅色数不是质数，灰色数尚未达到。

代码优化

如@BenJackson 所述，您的代码优化了两次:

首先，它只存储从 3 开始的奇数，因为我们知道偶数不是素数(2 除外)。
其次，对于数字 p，它只从 p² 开始筛选。这是正确的，因为如果 n<p然后 n*p当乘以 n 时已经过筛被筛选。

这就是神秘评论的原因:

// sieving from p^2, whose index is 2i^2 + 6i + 3

假设我们的算法已经到达 vector 中的第二项，因此 i=2 .有问题的数字是 5，因为索引 i表示数字 2i+3 (第一次优化)。

我们应该筛选 5 的所有乘法来自 25向前。代表25的索引是11 ，因为 25=2*11+3 .根据您的打印输出，它会删除索引 11, 16, 21, 26, ... , 对应于数字 25, 35, 45, 55, .. - 我们要删除所有 5 的奇数乘法。

您可以在 Wikipedia 阅读更多相关信息或 Wolfram MathWorld ，还有一个不错的 javascript on-line demonstration here .

关于c++ - 在我的教科书上看不懂这个素数生成器算法，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/16889987/

生成器教科 is_prime is prime c++algorithm math primes sieve-of-eratosthenes

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