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c++ - 计算加泰罗尼亚数模质数

coder 2023-11-17 原文

以下是问题描述:

令 c[n] 为 n 的加泰罗尼亚数，p 为大素数，例如 1000000007

我需要计算 c[n] % p，其中 n 的范围是 {1,2,3,...,1000}

我遇到的问题是，在 32 位机器上，当您计算如此大的整数的加泰罗尼亚数字时，您会溢出。我熟悉模运算。还有

(a.b) % p = ((a % p)(b % p)) % p

这个公式帮助我单独解决了分子中的溢出问题，但我不知道如何处理分母。

最佳答案

对于 1000000007 的模数，仅使用 32 位整数来避免溢出是很麻烦的。但是任何体面的 C 实现都提供 64 位整数(并且任何体面的 C++ 实现也提供)，所以这不是必需的。

然后要处理分母，一种可能性是，正如 KerrekSB 在他的评论中所说，以素数为模计算分母的模逆 p = 1000000007 .您可以使用 extended Euclidean algorithm 计算模逆或者，等价地，k/p 的连分数展开.然后不是除以 k在计算中，您乘以它的模逆。

另一种选择是对加泰罗尼亚数使用 Segner 的递归关系，它给出了一个没有除法的计算:

C(0) = 1
         n
C(n+1) = ∑ C(i)*C(n-i)
         0

因为您只需要加泰罗尼亚数字 C(k)对于 k <= 1000 ，您可以预先计算它们，或者在程序启动时快速计算它们并将它们存储在查找表中。

如果与预期相反没有64位整数类型可用，可以通过将因子拆分为低16位和高16位来计算模积，

a = a1 + (a2 << 16)    // 0 <= a1, a2 < (1 << 16)
b = b1 + (b2 << 16)    // 0 <= b1, b2 < (1 << 16)
a*b = a1*b1 + (a1*b2 << 16) + (a2*b1 << 16) + (a2*b2 << 32)

计算a*b (mod m)与 m <= (1 << 31) , 减少四个产品中的每一个模 m ,

p1 = (a1*b1) % m;
p2 = (a1*b2) % m;
p3 = (a2*b1) % m;
p4 = (a2*b2) % m;

合并这些转变的最简单方法是

for(i = 0; i < 16; ++i) {
    p2 *= 2;
    if (p2 >= m) p2 -= m;
}

p3 相同p4 的 32 次迭代.然后

s = p1+p2;
if (s >= m) s -= m;
s += p3;
if (s >= m) s -= m;
s += p4;
if (s >= m) s -= m;
return s;

这种方式不是很快，但是对于这里需要的少数乘法，它已经足够快了。应该通过减少轮类次数来获得小的加速；先计算(p4 << 16) % m ,

for(i = 0; i < 16; ++i) {
    p4 *= 2;
    if (p4 >= m) p4 -= m;
}

然后所有p2 , p3和 p4 的当前值需要乘以 216 模 m ,

p4 += p3;
if (p4 >= m) p4 -= m;
p4 += p2;
if (p4 >= m) p4 -= m;
for(i = 0; i < 16; ++i) {
    p4 *= 2;
    if (p4 >= m) p4 -= m;
}
s = p4+p1;
if (s >= m) s -= m;
return s;

关于c++ - 计算加泰罗尼亚数模质数，我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题： https://stackoverflow.com/questions/10042195/

加泰罗尼亚罗尼codec++c32-bit

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