1.2随机事件的概率定义简单定义概率是随机事件发生的可能性大小的度量（数值）。频率可以作为概率的估计，但频率的稳定值不能作为概率的定义。一个事件的概率是由事件本身特征决定的客观存在。频率的稳定值是概率的外在的必然表现。公理化定义设\(\Omega\)是一个样本空间，定义在\(\Omega\)的事件域\(\mathscr{F}\)上的一个实值函数\(P(\cdot)\)称为\(\Omega\)上的一个概率测度，如果它满足下列三条公理：​ 公理1 \(P(\Omega)=1\);​ 公理2 对任意事件\(A\)，有\(P(A)\ge0\);​ 公理3 对任意可数个两两互不相容的事件\(A_1,A_

1.4条件概率条件概率样本空间\(\Omega\)事件\(A,B\)\(P(B)>0\)在事件\(B\)已经发生的前提条件下，事件\(A\)发生的概率称为A对B的条件概率：\(P(A|B)\).通常，\(P(A)\)为无条件概率，对应的样本空间为\(\Omega\)。而条件概率\(P(A|B)\)对应的样本空间为\(B\)，或者记为\(\Omega_B\).所以：\[P(A|B)=\frac{n_{AB}}{n_B}=\frac{\frac{n_{AB}}{n}}{\frac{n_B}{n}}=\frac{P(AB)}{P(B)}\]乘法公式根据\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(

1.4条件概率条件概率样本空间\(\Omega\)事件\(A,B\)\(P(B)>0\)在事件\(B\)已经发生的前提条件下，事件\(A\)发生的概率称为A对B的条件概率：\(P(A|B)\).通常，\(P(A)\)为无条件概率，对应的样本空间为\(\Omega\)。而条件概率\(P(A|B)\)对应的样本空间为\(B\)，或者记为\(\Omega_B\).所以：\[P(A|B)=\frac{n_{AB}}{n_B}=\frac{\frac{n_{AB}}{n}}{\frac{n_B}{n}}=\frac{P(AB)}{P(B)}\]乘法公式根据\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(

1.5事件的独立性两个事件的独立性定义如果一个事件\(B\)发生与否对另一个事件\(A\)发生的概率没有任何影响，则\[P(A|B)=P(A)\]其中，\(P(B)>0\)，称\(A\)独立于\(B\).对称的，如果\(P(B|A)=P(B),P(A)>0\)则称\(B\)独立于\(A\).综合起来，如果：\[P(AB)=P(A)P(B)\](其中\(P(A)>0,P(B)>0\))，则称\(A\)与\(B\)相互独立，简称\(A\)与\(B\)独立。推论\(\varnothing\)和\(\Omega\)与任意事件\(A\)独立。若\(A,B\)独立，则\(A,\overline{B}\)独

1.5事件的独立性两个事件的独立性定义如果一个事件\(B\)发生与否对另一个事件\(A\)发生的概率没有任何影响，则\[P(A|B)=P(A)\]其中，\(P(B)>0\)，称\(A\)独立于\(B\).对称的，如果\(P(B|A)=P(B),P(A)>0\)则称\(B\)独立于\(A\).综合起来，如果：\[P(AB)=P(A)P(B)\](其中\(P(A)>0,P(B)>0\))，则称\(A\)与\(B\)相互独立，简称\(A\)与\(B\)独立。推论\(\varnothing\)和\(\Omega\)与任意事件\(A\)独立。若\(A,B\)独立，则\(A,\overline{B}\)独

2.5随机变量函数的分布随机变量函数对于一个随机变量\(X\)，其取值是不确定的，如果存在一个函数\(g(x)\)，使得随机变量\(X,Y\)满足：\[Y=g(X),\]则称随机变量\(Y\)是随机变量\(X\)的函数。\(X\)的统计规律决定了\(Y\)的统计规律.离散型随机变量函数的分布离散型随机变量\(X\)的函数\(Y=g(X)\)显然还是离散型随机变量。\(Y\)的概率分布完全由\(X\)的概率分布所确定。连续型随机变量函数的分布设随机变量\(X\)的密度函数为\(f_X(x)\)，分布函数为\(F_X(x)\)。用函数\(g(x)\)构造随机变量\(Y=g(X)\)，记\(Y\)的

2.5随机变量函数的分布随机变量函数对于一个随机变量\(X\)，其取值是不确定的，如果存在一个函数\(g(x)\)，使得随机变量\(X,Y\)满足：\[Y=g(X),\]则称随机变量\(Y\)是随机变量\(X\)的函数。\(X\)的统计规律决定了\(Y\)的统计规律.离散型随机变量函数的分布离散型随机变量\(X\)的函数\(Y=g(X)\)显然还是离散型随机变量。\(Y\)的概率分布完全由\(X\)的概率分布所确定。连续型随机变量函数的分布设随机变量\(X\)的密度函数为\(f_X(x)\)，分布函数为\(F_X(x)\)。用函数\(g(x)\)构造随机变量\(Y=g(X)\)，记\(Y\)的

第一章随机事件与概率1.1随机事件基本概念随机现象确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。随机现象：无法事先准确预知其结果的现象。统计规律性：随机现象在大量重复观察时所表现出来的量的规律性。随机试验：对随机现象的观察。简称：试验。随机试验的特点：一定条件下可重复试验结果不止一个试验结果不可预测样本空间样本点：随机试验的每一个可能结果。通常用\(\omega\)表示。样本空间：一个随机事件所有样本点的集合。通常用\(\Omega\)表示。一个随机试验将要出现的结果是不确定的，但其所有可能结果是明确的。\[\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}\]

第一章随机事件与概率1.1随机事件基本概念随机现象确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。随机现象：无法事先准确预知其结果的现象。统计规律性：随机现象在大量重复观察时所表现出来的量的规律性。随机试验：对随机现象的观察。简称：试验。随机试验的特点：一定条件下可重复试验结果不止一个试验结果不可预测样本空间样本点：随机试验的每一个可能结果。通常用\(\omega\)表示。样本空间：一个随机事件所有样本点的集合。通常用\(\Omega\)表示。一个随机试验将要出现的结果是不确定的，但其所有可能结果是明确的。\[\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}\]

第二章随机变量的分布与数字特征2.1随机变量及其分布随机变量的概念定义定义在概念空间\((\Omega,P)\)上，取值为实数的函数\(X=X(\omega)(\omega\in\Omega)\)称为\((\Omega,P)\)上的一个随机变量.理解随机变量的作用在于将样本的文字描述转换为实数，是一个具体到抽象的过程。举例：投掷一枚硬币，记正面朝上次数为随机变量\(X\)，则\(X\)作为样本空间\(\Omega=\{正面，反面\}\)上的函数定义为\[X(\omega)=\left\{\begin{align*}{}&1,\quad\omega=正面,\\&0,\quad\omega=反面.